NOTASI SIGMA

Penulisan sigma

perhatikan jumlah:

`1^2+2^2+3^2+...+100^2`

dan

`a1+a2+a3+...+an`

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

`\sum_{i=1}^{100}i^2`

Dan yang ke dua sebagai

`\sum_{i=1}^nai`

disini `\sum`(huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S, menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga,

` \sum_{i=2}^5bi=b2+b3+b4+b5`

`\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}`

`\sum_{k=1}^4\frac k{k^2+1}=\frac1{1^2+1}+\frac2{2^2+1}+\frac3{3^2+1}+\frac4{4^2+1}`

Dan untuk n ≥ m,

`\sum_{i=m}^nF(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}ci` mempunyai nilai sama, katakan c, maka

`\sum_{i=1}^nci=c+c+c+...+c`(jumlahkan sebanyak n)`=cn`

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

`\sum_{i=1}^nci=cn`

Khususnya,

`\sum_{i=1}^{5} 2=(5)(2)=10`

`\sum_{i=1}^{100} -4=(100)(-4)=-400`

`\sum_{j=0}^{2} x^3= x^3+x^3+x^3`

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1

`\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10`

`\sum_{k=0}^{4} (2k+2)=2+4+6+8+10`

`\sum_{k=2}^{6} (2k-2)=2+4+6+8+10`

Perubahan identitas jumlah

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2

Nyatakan `\sum_{k=3}^{7}5^(k-2)` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian:

Misalkan indeks baru ialah j. maka,

j=k-3

Sehingga k=3 jika j=0 dan jika k=7 maka j=4. jadi, j bergerak dari j=0 sampai j=4. Sehingga,

`\sum_{k=3}^{7} 5^(k-2)=\sum_{j=0}^{4}5^((j+3)-2)=\sum_{j=0}^{4}5^(j+1)`

Pembaca dapat mengecek bahwa`\sum_{k=3}^{7} 5^(k-2)` dan`\sum_{j=0}^{4}5^(j+1)`adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5`

Sifat-sifat sigma

`\sum` dianggap sebagai operator, `\sum`beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear

Kelinearan `\sum` misalkan (ai) dan (bi) menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta.

Maka:

(i) `\sum_{i=1}^{n}cai=c\sum_{i=1}^{n} ai`

(ii) `\sum_{i=1}^{n}(ai+bi)=\sum_{i=1}^{n}ai+\sum_{i=1}^{n}bi`

(iii) `\sum_{i=1}^{n}(ai-bi)=\sum_{i=1}^{n}ai-\sum_{i=1}^{n}bi`

Selanjutnya kita akan membuktikan sifat (i) sampai sifat ke (iii)

(i) `\sum_{i=1}^{n}cai =ca1+ca2+ca3+...+can`

`=c(a1+A2+A3+...+an)`

`=c \sum_{i=1}^{n} ai`

(ii)`\sum_{i=1}^{n}(ai+bi)`

`=(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+...+(an+bn)`

`=a1+b1+a2+b2+A3+b3+...+an+bn`

`=(a1+a2+A3+ ...+an)+(b1+b2+b3+...+bn)`

`=\sum_{i=1}^{n}ai+\sum_{i=1}^{n}bi`

(iii)`\sum_{i=1}^{n}(ai-bi)

=(a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)+...+(an-bn)`

`=a1-b1+a2-b2+A3-b3+...+an-bn`

`=(a1+a2+A3+ ...+an)-(b1+b2+b3+...+bn)`

`=\sum_{i=1}^{n}ai-\sum_{i=1}^{n}bi`

Contoh 3

Misalkan `\sum_{i=1}^{100} ai=60` dan `\sum_{i=1}^{100}b1=11`. Hitung `\sum_{i=1}^{100}(2ai-3bi+4)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{100}(2ai-3bi+4)`

=`\sum_{i=1}^{100}(2ai)+\sum_{i=1}^{100}(-3bi)+\sum_{i=1}^{100}(4)`

=`2\sum_{i=1}^{100}(ai)-3\sum_{i=1}^{100}(bi)+\sum_{i=1}^{100}(4)`

=`2(60)-3(11)+4(100)=120-33+400=487`

Contoh 4

Sederhanakan`\sum_{i=1}^{100} ai-a(i-1)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{100} ai-a(i-1)`=(a1-a0)+(a2-a1)+...+(an-a(n-1))`

`=-a0+a1-a1+a2+...+a(n-1)-a(n-1)+an`

`=-a0+an`

BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:

(a). `\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=frac {n(n+1)}{2}`

(b). `\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=frac {n(n+1)(2n+1)}{6}`

(c). `\sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=(frac {n(n+1)}{2})^2`

(d). `\sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4= frac {n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}`

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik