INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Integral fungsi rasional faktor kuadrat

dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial =`\frac{f(x)}{g(x)}`=`\fracA{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

contoh:

1. `\int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx`

karena integral fungsi rasional sejati maka,

`\int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx =\int\frac A{4x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}dx`

`=\int\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(4x+1)}{(4x+1)(x^2+1)}dx`

=`\int\frac{Ax^2+A+4Bx^2+Bx+4Cx+C}{(4x+1)(x^2+1)}dx`

`=\int\frac{(A+4B)x^2+(B+4C)x+(A+C)}{(4x+1)(x^2+1)}dx`

diperoleh A+4B=6, B+4C=-3 dan A+C=1 di dapat A=2, B=1, C=-1, sehingga:

`\int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx=\int\frac 2{4x+1}+\frac{x-1}{x^2+1}dx`

=`\int\frac2{4x+1}dx\+\int\frac x{x^2+1}dx\-\int\frac1{x^2+1}dx`

=`\frac2{4}ln|4x+1|+\frac1{2}ln|x^2+1|-arc\tan\x\+C`

2. `\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx`

integrannya merupakan fungsi rasional sejati sehingga:

`\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx=\int\frac{x^3+x^2+x+2}{(x^2+1)(x^2+2)}dx`

`=\int\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}dx`

`=\int\frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}dx`

`=\int\frac{(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)}{(x^2+1)(x^2+2)}dx`

diperoleh A+C=1,B+D=1, 2A+C=1 dan 2B+D=2 di dapat A=0, B=1, C=1 dan D=0 sehingga:

`\int\frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}dx`= `=\int\frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2}dx`

`=\int\frac{1}{x^2+1}dx+\int\frac{x}{x^2+2}dx`

` = arctan x +\frac{1}{2}ln|x^2+2| +C`

3. `\int\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x-2)(x^2+1)} dx`

jawab: penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3)dan (x-2) dengan kuadrat `(x^2+1)`, sehingga:

`\int\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x-2)(x^2+1)} dx`=`\int\frac{A}{x+3} +\frac{B}{x-2}+\frac{Cx+D}{x^2+1} dx`

`=\int\frac{A(x-2)(x^2+1)+B(x+3)(x^2+1)+(Cx+D)(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)(x^2+1)}dx`

`=\int\frac{(A+B+C)x^3 +(-2A+3B+C)x^2+(A+B+D-6C)x+(-2A+3B-6D)}{(x+3)(x-2)(x^2+1)} dx`

maka diperoleh:

`A+B+C=1, -2A+3B+C=-8, A+B+D-6C=0, dan -2A+3B-6D=-1` di dapat A=2, B=-1, C=0, dan D=-1,

sehingga:

`\int\frac{x^3-8x^2-1}{(x+3)(x-2)(x^2+1)} dx`=`\int\frac{2}{x+3} +\frac{-1}{x-2}+\frac{-1}{x^2+1} dx`

`=2 ln |x+3|-ln|x-2|-arctan x+C`

`=ln|x+3|^2-ln|x-2|-arctan x +C`

`= ln|\frac{(x+3)^2}{x-2}|-arctan x +C`

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL YANG MEMUAT SIN X DAN COS X

fungsi`F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0`, f(x) dan g(x) memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan `f(x)= sin x dan f(x)=cos x` tidak mempunyai derajat seperti hal nya dengan fungsi polinomial. pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 atau 𝑓(𝑥) = cos 𝑥.

1. `F(x)=\frac{1-sin x}{cos x}`

2. `F(x)=\frac{1+sin x+cos x}{sin x}`

3. `F(x)=\frac{5 sin x+2}{cos x}`

4. `F(x)=\frac{1}{1+ sin x- cos x}`

5. `F(x)=\frac{2}{1+sin x-cos x}`

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.` \int\frac{dx}{1+sin x-cos x}`

2. `\int \frac{dx}{2+cos x}`

3.`\int\frac{dx}{1+sin x+cos x}`

4.`\int\frac{1+2sin x+cos x}{sinx}dx`

5. `\int\frac{1}{3-2 sinx} dx`

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi 𝑥 = 2 arctan 𝑧 sehingga `dx=\frac{2}{1+z^2}dz`

Selanjutnya sin 𝑥 dan cos 𝑥 disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena 𝑥 = 2 arctan 𝑧 maka:

`⇔tan\frac{x}{2}=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

`1+tan^2\frac{x}{2}=sec^2\frac{x}{2}`

`⇔ 1+z^2=sec^2\frac{x}{2}`

`⇔cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+z^2}`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

`sin^2 x+cos^2 x =1`

`⇔sin^2\frac{x}{2} + cos^2\frac {x}{2}=1` sehingga di dapat

`⇔sin^2\frac{x}{2} =1-\frac{1}{1+z^2}`

`⇔sin^2\frac{x}{2}=\frac{z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

`cos2x=cos^2 x-sin^2 x`

`⇔ cos x=cos^2\frac{x}{2} − sin^2\frac{x}{2}`

`⇔ cos x= \frac{1}{1+z^2} −\frac {z^2}{1+z^2}`

`⇔cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

`sin 2x= 2 sin x cos x`

`⇔ sin x= 2 sin \frac{x}{2} cos\frac{x}{2}`

`⇔ sin x=2\sqrt{\frac{z^2}{1+z^2}}\sqrt{\frac1{1+z^2}}`

`⇔sin x=\frac{2z}{1+Z^2}`

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

`x = 2 arctan x, sin x=\frac{2z}{1+z^2}, cosx=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan penyelesaian dari

1. `\int\frac{dx}{1+sin x+cos x}`

jawab

`\int\frac{dx}{1+sinx+cosx}=\int\frac{\frac2{1+z^2}dz}{1+\frac{2z}{1+z^2}+frac{1-z^2}{1+z^2}}`

`=\int\frac{\frac2{1+z^2}dz}{\frac{1+z^2}{1+z^2}+\frac{2z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

`=\int\frac{2dz}{2+2z}`

`=\int\frac{dz}{1+z}`

`=ln|1+z|+C`

`ln|1+tan\frac{x}{2}|+C`

2.`\int\frac{dx}{2-cosx}`

jawab

`\int\frac{dx}{2-cos x}=\int\frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{2-\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

`\int\frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{\frac{2(1+z^2)}{1+z^2}-\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

`=\int\frac{2dz}{1+3z^2}`

`=\frac{2}{3}\int\frac {dz}{(\frac{1}{sqrt{3}})^2+z^2}`

`=\frac {2}{3}sqrt{3}arctan (\frac{z}{1/sqrt{3}})+C`

`=\frac{2}{sqrt{3}}arctan sqrt{3}z+C`

`=\frac{2}{sqrt{3}} arctan sqrt{3}(tan\frac{x}{2})+C`

3. `\int\frac{dx}{3+5sinx}=\int \frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{3-5\frac{2z}{1+z^2}}`

`=\int\frac{2dz}{3+3z^2+10z}`

`=\int\frac{2dz}{(3z+1)(z+3)}dz`

`=\int\frac{A}{3z+1}+\frac{B}{z+3}dz`

`=\int\frac{(A+3B)z+(A+B)}{(3z+1)(z+3)}dz`

diperoleh A+3B=0, A+B=2, didapat A=3 dan B=-1 sehingga

`\int\frac{dx}{3+5sin x}=\int\frac{3}{3z+1}-\frac{1}{z+3}dz`

`= 3ln|3z+1|-ln|z+3|+C`

`=3ln|3 tan \frac{x}{2} +1|-ln|tan\frac{x}{2}+3|+C`

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik