integral fungsi rasional

ntegral fungsi rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutkan masing masin merupakan fungsi polynomial (suku banyak) atau dapat dikatakan fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana f(x), g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polynomial) adalah g(x)≠0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x)=a0+a1x+a2x²+a3x³+...+`anx^n`, n=1,2,3,...,sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang paling dan penyebutnya polinom.

Contoh:

1.`F(x)=\frac{1-x}{x²-3x+2}`(fungsi rasional sejati)

2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` (fungsi rasional tidak sejati)

3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`(fungsi rasional tidak sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuklangkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

`F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

`=\x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}`

`F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\g(x)\ne0`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut (𝑥) dari fungsi rasional sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, 𝑔(𝑥) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) … . (𝑥 − 𝑡) dstnya.

- fungsi linear berulang,`g(x)={(x-a)}^n`= (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) … (𝑥 – 𝑎)

- fungsi linear dan kuadrat, 𝑔(𝑥)= (𝑥 − 𝑎) (𝑎² + 𝑏𝑥 + 𝑐)

- fungsi kuadrat berbeda, 𝑔(𝑥)= ( ax²+ 𝑏x + 𝑐 )(px² + 𝑞x + 𝑐)

- fungsi kuadrat berulang, 𝑔(𝑥)= (ax² + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehinggaintegran dapat ditentukan antiturunannya,misal:

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{x1+b1}+\frac{A2}{x2+b2}+...`penyebut kombinasi linear berbeda

`frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1}{(ax+b)}+\frac{A2}{{(ax+b)}^2}+\frac{A3}{{(ax+b)}^3}+...`kombinasi linear berulang

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A1x+B1}{a1x^2+b1x+c}+\frac{A2x+B2}{a2x^2+b2+c}+...`kombinasi linear kuadrat berbeda

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1,A2,…An dan B1,B2,…Bn

contoh:

1. Tentukan `\int\frac2{x^2-1}dx`

Karena integran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

`\int\frac2{x^2-1}dx=\int\frac2{(x-1)(x+1)}dx`

=`\int frac A{x-1}\+\frac B{(x+1)}dx`

`\int\frac{A(x+1)B(x-1)}{(x-1)(x+1)}dx`

Diperoleh A+B=0,A-B=2, A=1,B=-1 sehingga:

`\int\frac2{x^2-1}dx=\int\frac1{x-1}-\frac1{x+1}dx`

`=\int\frac1{x-1}dx-\int\frac1{x+1}dx`

`=\ln\left(\|x-1|\right)-\ln\left(\|x+1|\right)+c\=\ln\left(|\frac{x-1}{x+1}|\right)+c`

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik