integral tentu

int
egral tentu

   seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang. 

1. luas menurut poligon dalam

        sebagai contoh, akan dicari L(P) luas daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2`, sumbu-x, garis x=0 dan x=2. Pertama dipartisikan selang `0\le x \le 2`atas selang bagian yang sama dengan panjang `\nabla x =2/n`, dan memakai titik-titik:` 0=x0<x1<x2<...<x(n-1)<xn=2`, sehingga:

`x0=0`

`x1=0+\nabla x=2/n=1(2/n)`

`x2=0+2 \nabla x=4/n=2(2/n)`

`x3=0+3\nabla x=6/n=3(2/n)`

.

.

.

`xn=0+n\nabla x=n(2/n)=2` 

 

 

 

pada gambar tampak bahwa L(P)dalam<L(P)luar

luas poligon dalam :

`L(Pdalam)= f(x0)\nabla x +f(x1)\nabla x+f(x2)\nabla x+...+f(xn-1)\nabla x`

`L(P dalam)=(0)^2(2/n)+(1(2/n))^2(2/n)+...+(n-1)(2/n)^2(2/n)`

                   `=(2/n)^3(0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2)`

                  `=(2/n)^3 \sum_{i=0}^{n-1} i^2`

                  `=(2/n)^3(1/6 (n-1)(n)(2n-1))`

                  `=8/3-4/n+4/3n^2`

sehingga,

`\lim_{n\rightarrow\infty}L(Pdalam)=\lim_{n\rightarrow\infty}(8/3-4/n+4/3n^2)=8/3`

Luas poligon luar:

`L(Pluar)=f(x1)\nabla x+f(x2)\nabla x+f(x3)\nabla x+...+f(xn)\nabla x` 

              `=(1(2/n)^2(2/n)+(2(2/n)^2(2/n)+...+(n(2/n)^n(2/n))`

              `=(2/n)^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)`

              `=(2/n)^n\sum_{i=1}^{n}i^2`

              `=(2/n)^3 (1/6 n(n+1)(2n+1))`

              `=8/3+4/n+4/3n^2`

sehingga, 

`\lim_{n\rightarrow\infty}(8/3+4/3+4/3n^2)=8/3`

menurut teorema apit, untuk `L(Pdalam)<L(P)<L(Pluar)` didapat `L(P) =8/3`. selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisipada selang [a,b]. partisikan selang [a,b] atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik:

`a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b`,` \nabla` xi=xi-xi-1 (jarak antara titik xi-1 dengan xi). pada setiap selang bagian (xi-1,xi) dipilih titik sebarang (boleh tidak ujung), misalnya `\overline`{xi} sebagai berikut:

sebuah partisi dari [a,b] dengan 5 selang bagian,

jumlah:

`Rp=\sum_{i=0}^{n} f(xi)\nabla xi ` disebut jumlah rieman dari suatu selang dengan partisi

       dari pembahasan di atas dengan memisalkan |p| menyatakan norma p, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari pastisi P, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

 andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang [a,b]. jika nilai  `\lim_{\vert p\vert\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf(\overline{xi)}\triangle xi` ada, maka dikatakan bahwa f terintegralkan pada[a,b], dan ditulis sebagai `\int_a^bf(x)\operatorname dx= \lim_{\vert p\vert\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf(\overline{xi)}\triangle xi`, yang disebut integral tentu ( atau integral rieman) f dari a ke b 

   pada lambang `\int_a^bf(x)\operatorname dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.

    dalam definisi `\int_a^bf(x)\operatorname dx`, secara implisit kita menganggap bahwa a<b.

menghilangkan batasan itu dengan definisi definisi berikut.

`\int_a^bf(x)\operatorname dx=0`

`\int_a^bf(x)\operatorname dx=-\int_b^af(x)\operatorname dx, a>b`

contoh 1:

hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva `y=1/2 x`, sumbu x, garis x=2 dan x=4, jika daerah poligon tersebut dibagi atas 5 selang bagian yang sama.

jawab:

karena selang [2,5] dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\nabla x=(4-2)/5=2/5`, dan 

`x0=2`

`x1=2+1\nabla x=2+2/5=12/5`

`x2=2+2\nabla x=2+4/5=14/5`

`x3=2+3\nabla x=2+6/5=16/5`

`x4=2+4\nabla x=2+8/5=18/5

`x5=2+5\nabla x=2+10/5=4

luas poligon dalam:

`L(Pdalam)=f(x0)\nabla x+f(x1)\nabla x+f(x2)\nabla x+f(x3)\nabla x+f(x4)\nabla x`

                 ` =(1/2)(2)(2/5)+(1/2)(12/5)(2/5)+(1/2)(14/5)+(1/2)(16/5)(2/5)+(1/2)(18/5)(2/5)`

                 `=(12/25)+(14/5)+(18/25)+(18/25)+(20/25)`

                 `=(80/25)

                `=(16/5)

contoh 2:

hitunglah jumlah riemann Rp untuk f(x)=x-1

dan partisi P adalah 3<3,75<4 ,25< 5,5< 6<7 serta titi titik sampel : x1=3, x2=4, x3=4,75, x4=6, dan x5= 6,75.

jawab:

`Rp=\sum_{i=1}{5} f(x1) \nabla x`

      `=(2)(0.75)+3(0,5)+(3,75)91,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)

      `=15,9375

 

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik

Subscribe to receive free email updates: