Integral tentu bagian 2

Pada bahasan kali ini saya akan membahas mengenai Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus adalah suatu Teorema yang mendasari kalkulus yang harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinyu pada selang [a,b] dan andaikan F fungsi sebarang anti turunan dari f maka:`\int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_(-1)^2 x^2 dx` dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

`\int_(-1)^2 x^2 dx=1/3 x^3\|_{-1}^2`

`=1/3(2)^3-1/3(-1)^3`

`=1/3 (8)-1/3(-1)` `=8/3+1/3 =9/3=3`

2. `\int_(0)^π sin x dx` dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

`\int_(0)^π sin x dx=-cos x|_{0}^π`

`=(-cosπ )-(-cos 0)`

`=(1)-(-1)`

`=2`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendeferensialan integral tentu yaitu:

Jika f kontinyu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b] maka:

`d/dx ( \int_(a)^x f(t) dt)=f(x)`

Contoh:

`d/dx(\int_(0)^(x^2)(3t+1) dt)`

`=d/dx(3/2t^2+t)|_(0)^(x^2)`

`=d/dx(3/4x^4+x^2)`

`=6x^3+2x`

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TENTU

1. `\int_(a)^b k f(x) dx= k \int_(a)^b f(x) dx`

2. `\int_(a)^b f(x) +g(x) dx=\int_(a)^b f(x) dx+\int_(a)^b g(x) dx`

3. `\int_(a)^b f(x) - g(x) dx=\int_(a)^b f(x) dx-\int_(a)^b g(x) dx`

4. `\int_(a)^b f(x) dx = -\int_(b)^a f(x) dx, a>b`

5.`\int_(a)^c f(x) dx=\int_(a)^b f(x) dx+\int_(b)^c f(x) dx, ab\in[a,c]`

TEOREMA -TEOREMA YANG PENTING UNTUK KITA KETAHUI

1. Teorema simetri yaitu sbb:

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika f(-x)=f(x) dan ganjil jika f(-x)=-f(x). Untuk fungsi yang demikian berlaku:

a). `\int_(-a)^a f(x) dx=2\int_(0)^a f(x) dx`, jika fungsi genap

b). `\int_(-a)^a f(x) dx=0`, jika fungsi ganjil.

Contoh:

1. `\int_(-5)^5 (x^5)/(x^2+4)dx=...`

Jawab:

`f(x)=\int_(-5)^5 (x^5)/(x^2+4) dx`

`f(-x)=\int_(-5)^5 (-x^5)/(-x^2+4) dx`

`=\int_(-5)^5 (-x^5)/(x^2+4) dx`

`=-f(x)

Karena f(-x)=-f(x) maka `f(x)=(x^5)/(x^2+4)` adalah fungsi ganjil sehingga

`\int_(-5)^5 (x^5)/(x^2+4)dx=0`

2. Teorema periodik yaitu sbb:

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga `f(x+p)=f(x)`, untuk semua bilangan real dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut.

`\int_(a+p)^(b+p)f(x) dx=\int_(a)^b f(x) dx`

Contoh:

`\int_(0)^2π |sin x| dx=....`

Jawab:

Karena, `f(x)= |sin x| ` adalah fungsi periodik dengan periode π, maka

`= \int_(0)^π |sin x| dx+\int_(0+π)^(π+π)|sin x| dx`

Berdasarkan Teorema periodik persamaan diatas kita dapat tuliskan sebagai:

`\int_(0)^π |sin x| dx+\int_(0)^π |sin x| dx`

`=2 \int_(0)^π |sin x| dx`

`=2 \int_(0)^π sin x dx`

`=2(-cos x)|_(0)^π`

`=2((-cos π)-(-cos0))=2((-(-1))-(-1))=4`

3. Teorema nilai rata-rata untuk integral yakni sebagai berikut:

Jika f kontinu pada selang [a,b] terdapat suatu c diantara a dan b sehingga :

`\int_(a)^b f(x) dx=f(c)-(b-a)`

Sehingga nilai rata rata suatu integral dapat dituliskan sebagai berikut:

`f(c)=(\int_(a)^b f(x) dx)/(b-a)`

Contoh:

Carilah nilai rata-rata dari f pada [1,3] jika f(x)=x^2

Jawab:

Diketahui`f(c)=(\int_(a)^b f(x) dx)/(b-a)`

`\int_(1)^3 f(x) dx=\int_(1)^3 x^2 dx`

`=1/3 x^3|_(1)^3=1/3(3)^3-1/3(1)^3=26/3`

Sehingga

`f(c)=(26/3)/(3-1)=13/3`

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik