integral fungsi trigonometri

Integral fungsi trigonometri

Integral fungsi trigonometri adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan fungsi. Dalam proses menentukan integral trigonometri tentu tidak jauh berbeda dengan integral tak tentu yang sudah saya bahas sebelumnya.

Adapun rumus-rumus integral fungsi trigonometri yaitu:

1.∫sin x dx = -cos x +C

2.∫sin (ax+b) dx = -1/a cos (ax+b) + C

3.∫cos x dx = sin x +C

4.∫cos (ax+b) dx =1/a sin (ax+b) + C

5.∫sec²x dx = Tan x +C

6.∫cosec²x dx = -cot x +C

7.∫tan x sec x dx = sec x + C

8.∫cot x cosec x dx =-cosec x +C

9.∫tan x dx = -ln |cos|x +C

10.∫cot x dx = ln |sin| x +C

11.∫coses x dx = ln |csc x-cot x| + C

12.∫sec x dx = ln |sec x + Tan x| +C

Dan juga seperti dibawah ini:

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk

integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. ∫ 𝒔𝒊𝒏^m 𝒙 𝒅𝒙 dan ∫ 𝒄𝒐𝒔^m 𝒙 𝒅𝒙 dengan m bilangan ganjil atau genap

positif

- Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (𝑚 − 1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas

𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1.

Contoh:

1. ∫ 𝑠𝑖𝑛³x dx

Jawab:

∫ 𝑠𝑖𝑛³𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑖n^ ((3-1)+1 ) 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑑(− cos 𝑥)

= ∫ 1 𝑑(− cos 𝑥) + ∫ 𝑐𝑜𝑠²𝑑(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 + 1/3 𝑐𝑜𝑠³ 𝑥 + 𝐶

2. ∫ 𝑐𝑜𝑠⁵𝑥 𝑑𝑥

Jawab:

∫ 𝑐𝑜𝑠⁵ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠^((5−1)+1) 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠⁴𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥)² 𝑑(sin 𝑥)

= ∫(1 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛⁴𝑥) 𝑑(sin 𝑥)

= ∫ 1 𝑑(sin 𝑥) − 2∫𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑑(sin 𝑥) + ∫ 𝑠𝑖𝑛⁴𝑥 𝑑(sin 𝑥)

= sin 𝑥 − 2/3𝑠𝑖𝑛³ 𝑥 + 1/5𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 + 𝐶

- Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan identitas:

𝑠𝑖𝑛²𝑥 =(1−cos2𝑥)/2 dan 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =(1+cos2𝑥)/2

Contoh:

1. ∫ 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑑𝑥

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1−cos2𝑥)/2𝑑𝑥

= ∫1/2𝑑𝑥 − ∫1/2 cos 2𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥/2 −(𝑠𝑖𝑛2𝑥 )/4 + 𝐶

2. ∫ 𝑐𝑜𝑠⁴ 𝑥 𝑑𝑥

Jawab:

∫c𝑜𝑠⁴𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑜𝑠²𝑥)²𝑑x

=∫((1+cos2𝑥)/2)²𝑑𝑥

= ∫(1/4 +(cos2𝑥)/2+ 1/4 𝑐𝑜𝑠²2𝑥) 𝑑𝑥

= ∫1/4𝑑𝑥 + ∫cos2𝑥/2 𝑑𝑥 + ∫1/4𝑐𝑜𝑠²2𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥/4 +sin2𝑥/4 + 𝑥/8 +sin4𝑥/32 + 𝐶

= 3𝑥/8 +sin2𝑥/4 +sin4𝑥/32 + 𝐶

B. ∫ 𝒔𝒊𝒏^m 𝒙 𝒄𝒐𝒔^n 𝒙 𝒅𝒙

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan

kesamaan identintas 𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1 .

Contoh :

1. ∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠³𝑥 𝑑𝑥

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠³ 𝑥 𝑑𝑥

=∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠²𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑠𝑖𝑛 ²𝑥(1 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥) 𝑑(𝑠𝑖𝑛 𝑥)

= ∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑑(sin 𝑥) − ∫ 𝑠𝑖𝑛⁴𝑥 𝑑(sin 𝑥)

=1/3 S𝑖𝑛³𝑥 − 1/5 𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 + 𝐶

2. ∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠⁴𝑥 𝑑𝑥

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut 𝑠𝑖𝑛²𝑥 =( 1−cos2𝑥) /2 dan 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = (1+cos2𝑥)/2

sehingga:

∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑐𝑜𝑠⁴𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ((1−cos2𝑥)/2) ((1+cos2𝑥)/2)²𝑑𝑥

= 1/8 ∫ 1 + cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠³ 2𝑥) 𝑑𝑥

=1/8 ∫ [1 + cos 2𝑥 − 1/2 (1 + cos 4𝑥) − (1 − 𝑠𝑖𝑛²2𝑥) cos 2𝑥] 𝑑𝑥

=1/8 ∫ [1/2 − 1/2cos 4𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²2𝑥 cos2𝑥]dx

=1/8 [ ∫1/2 𝑑𝑥 − 1/8∫ cos 4𝑥 𝑑(4𝑥) + 1/2 ∫ 𝑠𝑖𝑛²2𝑥 𝑑(sin 2𝑥)]

= 1/8 [1/2 𝑥 − 1/8sin 4𝑥 + 1/6𝑠𝑖𝑛³ 2𝑥] + 𝐶

C. ∫ 𝒕𝒂𝒏^n 𝒙 𝒅𝒙 dan ∫ 𝒄𝒐𝒕^𝒏 𝒙 𝒅𝒙

- Untuk kasus ∫ 𝑡𝑎𝑛^n 𝑥 𝑑𝑥, faktorkan tan 𝑥 kemudian gunakan identitas 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 − 1

- Untuk kasus ∫ 𝑐𝑜𝑡^n 𝑥 𝑑𝑥, faktorkan cot x kemudian gunakan identitas 𝑐𝑜𝑡²𝑥 = 𝑐𝑠𝑐²𝑥 − 1

Perhatikan contoh berikut:

1. ∫ 𝑡𝑎𝑛³𝑥 𝑑𝑥

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas

1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥

Sehingga diperoleh:

∫ 𝑡𝑎𝑛³𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛²𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

= ∫(𝑠𝑒𝑐²𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑠𝑒𝑐²tan 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥

= ∫ tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝑑𝑥 − 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝐶

= ∫ tan 𝑥 𝑑(tan 𝑥) − 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝐶

=1/2 𝑡𝑎𝑛²𝑥 − 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝐶

2. ∫ 𝑐𝑜𝑡⁴𝑥 𝑑𝑥

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1 + 𝑐𝑜𝑡²𝑥 =𝑐𝑠𝑐²x, sehingga didapat

∫ 𝑐𝑜𝑡²𝑥 𝑑𝑥

=∫(𝑐𝑜𝑡²𝑥)²𝑑𝑥

= ∫(𝑐𝑠𝑐²𝑥 − 1)²𝑑𝑥

= ∫(𝑐𝑠𝑐²𝑥 − 2𝑐𝑠𝑐²𝑥 + 1) 𝑑𝑥

=∫(𝑐𝑠𝑐²𝑥) (𝑐𝑠𝑐²𝑥) − 2𝑐𝑠𝑐²𝑥 + 1 𝑑𝑥

= ∫(1 + 𝑐𝑜𝑡²𝑥) 𝑐𝑠𝑐²𝑥 − 2𝑐𝑠𝑐²𝑥 + 1 𝑑𝑥

= ∫(1 + 𝑐𝑜𝑡² 𝑥) 𝑑(− 𝑐𝑜𝑡 𝑥) − 2 ∫ 𝑑(− 𝑐𝑜𝑡 𝑥) + ∫ 𝑑x

= (−𝑐𝑜𝑡 𝑥) − 1/3𝑐𝑜𝑡³𝑥 + 2 cot 𝑥 + 𝑥 + 𝐶

=− 1/3𝑐𝑜𝑡3𝑥 + cot 𝑥 + 𝑥 + 𝐶

D. ∫ 𝒕𝒂𝒏^m 𝒙 𝒔𝒆𝒄^𝒏 𝒙 𝒅𝒙 dan ∫ 𝒄𝒐𝒕^𝒎 𝒙 𝒄𝒔𝒄^n 𝒙 𝒅𝒙

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 atau 1 + 𝑐𝑜𝑡²𝑥 = 𝑐𝑠𝑐²𝑥. Begitu juga dengan ganjil.

Contoh :

1. ∫ 𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 𝑠𝑒𝑐⁴𝑥 𝑑𝑥

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥, sehingga diperoleh

∫ 𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 𝑠𝑒𝑐⁴𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 (𝑠𝑒𝑐²𝑥)² 𝑑𝑥

= ∫ 𝑡𝑎𝑛⁵x (1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥) 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝑑𝑥

= ∫(𝑡𝑎𝑛⁵𝑥 + 𝑡𝑎𝑛⁷𝑥) 𝑑(tan 𝑥)

=1/6𝑡𝑎𝑛⁶𝑥 + 1/8 𝑡𝑎𝑛⁸𝑥 + 𝐶

E. ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒎𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 𝒅𝒙, ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝒎𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝒙 𝒅𝒙, ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒎𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 𝒅𝒙

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu

1. sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥

=1/2 [sin(𝑚 + 𝑛) 𝑥 + sin(𝑚 − 𝑛) 𝑥]

2. sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥

= − 1/2 [cos(𝑚 + 𝑛) 𝑥 − cos(𝑚 −𝑛) 𝑥]

3.cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥

=1/2 [cos(𝑚 + 𝑛) 𝑥 + cos(𝑚 − 𝑛) 𝑥]

Contoh:

1. ∫ sin 3𝑥 cos 4𝑥 𝑑𝑥

= ∫ 1/2 [sin(3 + 4) 𝑥 + sin(3 4) 𝑥] 𝑑𝑥

=1/2 ∫ sin 7𝑥 + sin(−𝑥) 𝑑𝑥

= −1/14cos 7𝑥 − 1/2cos 𝑥 + 𝐶

2. ∫ sin 3𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥

= ∫ − 1/2 [cos(3 + 2) 𝑥 − cos(3 − 2) 𝑥] 𝑑𝑥

= − 1/2 ∫(cos 5𝑥 − cos 𝑥) 𝑑𝑥

= −1/10sin 5𝑥 + 1/2sin 𝑥 + C

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik