Integral tak Wajar

Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka

`\int_a^b f(x) dx=[f(x)]_a^b=F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_2^4 (1-x) dx`

` =[x-1/2x^2]_2^4`

`=(4-1/2(4)^2)-(2-1/2(2)^2)=-4-0=-4`

2. `\int_1^2 dx/(1+x)=[ln|1+x|]_1^2`

`=ln(1+2)-ln(1+1)=ln 3 - ln 2`

3. `\int_1^2 dx/(√(1-x))`, tidak dapat diselesaikan dengan Teorema diatas karena integran f(x)=1/√(1-x) tidak terdefinisi pada x=1.

4. `\int_-1^1 dx/x` , tidak dapat diselesaikan dengan teorema diatas, karena integran f(x)=1/x tidak terdefinisi di x=0

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan Teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tak wajar.

Bentuk `\int_a^b f(x) dx`disebut integral tak wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) `tidak berlaku lagi.

Contoh:

1. `\int_0^4 dx/(4-x)`, f(x) tidak kontinu di batas atas x=4 atau f(x) kontinu di [0,4]

2. `\int_1^2 dx/(√(x-1))`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x=1 atau f(x) kontinu di [1,2]

3. `\int_0^4 dx/((2-x)^(2/3))`,f(x) kontinu di `x=2 \in [0,4]` atau f(x) kontinu di `[0,2] \cup [2,4]`

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1. `\int_0^(\infty) dx/(x^2+4)`, integran f(x) memuat batas atas di `x=\infty`

2. `\int_(-\infty)^0 e^(2x) dx`, integran f(x) memuat batas bawah di `x=-\infty`

3. `\int_-\infty^\infty dx/(1+4x^2)`, integran f(x) memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`

Pada contoh a(1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b(1,2,3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga `(\infty)`.

3.2 integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b] dan tidak kontinu di x=b

Karena f(x) tidak kontinu di x=b, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\varepsilon(\varepsilon\rightarrow0^+)`,sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_a^(b-\varepsilon) f(x) dx`

Karena batas atas `x=b-\varepsilon (x \rightarrow b^b^-)`, maka

`\int_a^b f(x) dx= \lim_{t \rightarrow b^-} \int_a^t f(x) dx`

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini

1. `int_0^4 dx/(√(4-x))=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_0^(4-\varepsilon) dx/(√(4-x))`,f(x) tidak kontinu di batas atas x=4, sehingga

`=[\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} -2√(4-x)]_0^(4-\varepsilon) `

`=-2\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} [√(4-(4-\varepsilon))-√(4-0)]`

`=-2(\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} √\varepsilon -√4)=-2(0-2)=4`

Cara lain

`int_0^4 dx/(√(4-x))=\lim_{t \rightarrow 4^-} \int_0^t dx/(√(4-x))`

`=\lim_{t \rightarrow 4^-}[-2√(4-x)]_0^t`

`=lim_{t \rightarrow 4^-}[-2√(4-t)+2√(4-0)]`

`=-2(0)+2(2)=4`

2. `\int_(-2)^2 dx/(√(4-x^2))`,` f(x)=1/(√(4-x^2))`

Fungsi diatas tidak kontinu di x=2 dan x=-2, sehingga:

`\int_(-2)^2 dx/(√(4-x^2))=2\int_0^2 dx/(√(4-x^2)) `

`=2[\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} arcsin x/2]_0^(2-\varepsilon)`

`=2(π/2-0)=π`

3.`\int_(0)^2 dx/((4-x)^(3/2))`=`[\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} 2/(√(4-x))]_0^(4-\varepsilon)`, f(x) tidak kontinu dibatas atas x=4 sehingga diperoleh

`\int_(0)^2 dx/((4-x)^(3/2))`=`\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}[2/(√(4-(4-\varepsilon)))-2/(√(4-0))]`

=Tidak berarti, karena mempunyai bentuk 2/0

b. f(x) kontinu di [a,b] dan tidak kontinu di x=a

Karena f(x) tidak kontinu di x=a, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x= a+ \varepsilon (\varepsilon \rightarrow 0^+)`, sehingga

`\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow a^+} \int_t^b f(x) dx`

Perhatian beberapa contoh di bawah ini.

1. `Int_3^4 (3dx)/(√(x-3))=\lim_{t \rightarrow 3^+} int_t^4 (3dx)/(√(x-3))`

`=\lim_{t \rightarrow 3^+} [3(2)√(x-3)]_t^4`

`=\lim_{t \rightarrow 3^+} [6√(4-3)-6√(t-3)]`

`=6(1)-6(0)=6`

2.`Int_0^1dx/(√x)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(0+\varepsilon)^1 dx/(√x)`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x=0 sehingga diperoleh:

`Int_0^1dx/(√x)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [2√x]_(0+\varepsilon)^1`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+}[2√1-2√(0+\varepsilon)]`

`=2-0=2

3. `Int_0^1 lnx dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [x ln x -x]_(0+\varepsilon)^1` , f(x) tidak kontinu di batas bawah x=0

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+}[(1ln 1-1)-(0+\varepsilon) ln (0+\varepsilon)-(0+\varepsilon)]`

`=(1.0-0)-(0-0)=-1

C. f(x) kontinu di `[a,c] \cup [c,b]` dan tidak kontinu di x=c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x=c, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=c+\varepsilon` dan `x=c-\varepsilon`(\varepsilon \rightarrow 0^+), sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\int_a^c f(x) dx+\int_c^b f(x) dx`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_a^(c-\varepsilon) f(x)dx+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(c-\varepsilon)^b f(x) dx`

Dapat juga dinyatakan dengan

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{t \rightarrow b^-} int_a^t f(x)dx+\lim_{t \rightarrow a^+} int_t^b f(x) dx`

Perhatian beberapa contoh dibawah ini.

1. `\int_0^4 dx/(\sqrt[3]{x-1})`, f(x) tidak kontinu di x=1, sehingga diperoleh

`\int_0^1 dx/(\sqrt[3]{x-1}) + \int_1^4 dx/(\sqrt[3]{x-1})`, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:

`\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_0^(1-\varepsilon) dx/(\sqrt[3]{x-1}) +\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(1+\varepsilon)^4 dx/(\sqrt[3]{x-1})`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [3/2(x-1)^(2/3)]_0^(1-\varepsilon) +\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [3/2(x-1)^(2/3)]_(1+\varepsilon)^4`

`=3/2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [(1-\varepsilon)-1)^(2/3)-(0-1)^(2/3)] +3/2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [(4-1)^(2/3)-((1+\varepsilon)-1)^(2/3)]`

`=3/2(-1+\sqrt[3]{9})`

2. `\int_(-1)^8 x^(-1/3) dx`, f(x) tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh

`\int_(-1)^0 x^(-1/3) dx+\int_(0)^8 x^(-1/3) dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(-1)^(0-\varepsilon) x^(-1/3) dx +\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(0+\varepsilon)^8 x^(-1/3)dx`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [3/2(x)^(2/3)]_(-1)^(0-\varepsilon) +\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [3/2(x)^(2/3)]_(0+\varepsilon)^8`

`=-3/2 +6=9/2

3. `\int_(-1)^1 dx/x^4`, f(x) diskontinu di x=0, sehingga diperoleh

`\int_(-1)^1 dx/x^4=\int_(-1)^0 dx/x^4+\int_(0)^1 dx/x^4`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(-1)^(0-\varepsilon) DX/x^4+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} int_(0+\varepsilon)^1 dx/x^4`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [-1/(3x^3)]_(-1)^(0-\varepsilon) +\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} [-1/(3x^3]_(0+\varepsilon)^1`

= Tidak berarti karena memuat bentuk 1/0

3.3 integral tak wajar dengan batas tak hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Penyelesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integralnya tidak kontinu di salah satu batas integrasinya.

a. Integral tak wajar dengan batas atas `x=\infty`.

Penyelesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variabel di mana variabel tersebut mendekati tak hingga dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai penyelesaian berbentuk.

`\int_a^\infty f(x) dx=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) dx`

Perhatikan contoh berikut ini

1. `\int_0^\infty dx/(x^2+1)=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_0^t dx/(x^2+4)`

`=\lim_{t \rightarrow \infty} [ 1/2 arctan x/2]_0^t`

`=\lim_{t \rightarrow \infty} [ 1/2 arctan t/2-1/2 arctan 0]`

`=(1/2 .π/2) -(1/2.0) =π/4`

2. `\int_1^\infty dx/(x^2)=\lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t dx/(x^2)`

`=\lim_{t \rightarrow \infty} [ -1/x]_1^t`

`=\lim_{t \rightarrow \infty} [ -1/t +1]`

`=0+1=1`

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-\infty`

Menyelesaikannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai penyelesaian:

`\int_(-\infty)^a f(x) dx= \lim_{t \rightarrow (-\infty)} f(x) dx`

Perhatian contoh berikut ini

1. `\int_(-infty)^0 e^(2x) dx =\lim_{t \rightarrow (-\infty)} [1/2 e^(2x)]_t^0`

`=\lim_{t \rightarrow (-\infty)} [1/2.1-1/2 e^(2t)]`

`=1/2-0=1/2`

2. `\int_(-infty)^0 dx/((4-x)^2) =\lim_{t \rightarrow (-\infty)} [1/(4-x)]_t^0`

`=\lim_{t \rightarrow (-\infty)} [1/(4-t) + 1/(4-0)]`

`=0+1/4=1/4`

C. Integral tak wajar batas atas `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan 2 integral tak wajar dengan `\int_(-\infty)^(\infty) f(x) dx=\int_(-\infty)^a f(x) dx+\int_a^(\infty) f(x) dx`, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut diatas, atau di peroleh dengan bentuk:

`\int_(-\infty)^(\infty) f(x) dx=\int_(-\infty)^a f(x) dx+\int_a^(\infty) f(x) dx,`

`=\lim_{t\rightarrow -\infty} int_t^a f(x)dx+\lim_{t \rightarrow \infty} int_a^t f(x) dx`

Perhatian beberapa contoh dibawah ini

1. `\int_(-\infty)^(\infty) dx/(1+4x^2)=\int_(-\infty)^0 dx/(1+4x^2)+\int_0^(\infty) dx/(1+4x^2)`.

`=\lim_{t\rightarrow -\infty} [arctan 4x]_t^0+\lim_{t \rightarrow \infty} [arctan 4x]_0^t`

`=π/2`

2. `\int_(-\infty)^(\infty) (e^xdx)/(e^(2x)+1)=\int_(-\infty)^0(e^xdx)/(e^(2x)+1)+\int_0^(\infty)(e^xdx)/(e^(2x)+1)`.

`=\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^0(e^xdx)/(e^(2x)+1)+ \lim_{t \rightarrow \infty} \int_0^t (e^xdx)/(e^(2x)+1)`

`=\lim_{t\rightarrow -\infty} [arctan e^x]_t^0+\lim_{t \rightarrow \infty} [arctan e^x]_0^t`

`=π/2-π/4+π/4-0 =π/2`

Jelita

Hallo, perkenalkan nama saya Jelita saya mahasiswa UNM angkatan 2022, saya tidak pandai merangkai kata dan tidak pintar dalam segala hal tapi semoga informasi yang saya sampaikan di blog ini dapat tersampaikan dengan baik